Todos, de alguna manera, hemos visto la segunda ley de Newton; bien sea en el colegio, en la universidad o hasta en el lenguaje cotidiano cuando hablamos de inercia o acción y reacción. La mecánica es una teoría marco, es la manera en que creemos se comportan los entes físicos. Recordemos que la segunda ley de Newton se escribe

\mathbf{F} = m\mathbf{a} = m\dfrac{d^2 \mathbf{x}}{dt^2} = m\mathbf{\ddot{x}}

fuerza igual a masa por aceleración; podemos conocer la masa de la partícula que estudiamos y usualmente queremos saber la posición  x, pero para eso necesitamos conocer quién es la fuerza  F . La mecánica no nos dice nada de la fuerza; lo único que dice la mecánica es ‘si usted conoce la fuerza, métala en esta ecuación y resuelva para x. Un aspecto interesante es que existen otras formas de plantearse el problema de Newton con igual éxito e incluso mejor. Hoy veremos una de ellas que es conocida como formalismo Lagrangiano, desarrollado como ya intuirán por el físico y matemático francés J. L. Lagrange hacia finales del siglo XVIII.

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Aunque no es usual, vamos a ponernos un poco técnicos. Vamos a conversar de un recurso que no aparece normalmente en los libros. Supongamos que tenemos una ecuación diferencial ordinaria y homogénea de segundo orden:

y'' + P y' + Q y = 0   ,

donde hemos consideramos que  y   depende de la variable independiente  x   y consideramos P   y  Q   dos funciones arbitrarias de  x . Denotamos a las derivadas con primas. No nos vamos a preocupar por el dominio de la ecuación ni de su regularidad o el comportamiento de las funciones P y Q; haremos lo que se conoce como un tratamiento formal.

Queremos cambiar de variable independiente; es decir hacer un cambio

x \longrightarrow z

Para esto debemos primero reescribir las derivadas utilizando la regla de la cadena:

y' = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dz}{dx}\dfrac{dy}{dz}

y'' = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) = \left(\dfrac{dz}{dx}\right)^2\dfrac{d^2 y}{dz^2} + \dfrac{d^2 z}{dx^2}\dfrac{dy}{dz}

Utilizando estos resultados, reescribimos la ecuación original:

\left(\dfrac{dz}{dx}\right)^2 \dfrac{d^2 y}{dz^2} + \left(\dfrac{d^2 z}{dx^2} + P\dfrac{dz}{dx}\right)\dfrac{dy}{dz} + Qy = 0 .

Sería interesante si pudiésemos encontrar algún criterio que nos permita decir cuándo es posible transformar esta ecuación en una con coeficientes constantes… y esto es lo que pensamos hacer.

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Recordamos que queremos resolver

\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial t^2} - \dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2} = 0

\psi(0,t) = 0

\psi(L,t) = 0

y que técnicamente este problema tiene un nombre impronunciable el cual no pienso repetir.

Al resolver, la ecuación nos dice que únicamente son posibles longitudes de onda que cumplan la condición de que la presión acústica se anule en los extremos. Lee el resto de esta entrada »

Ya que vimos la ecuación de ondas en la entrada anterior

\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial t^2} - \dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2} = 0

sólo queda estudiar las condiciones de contorno apropiadas; es decir ¿cómo le decimos a la ecuación que estamos estudiando un instrumento en particular? Lee el resto de esta entrada »

Es fácil dejarse llevar por el poder y la belleza de una ecuación aunque a veces olvidamos lo importante que son ésas sus compañeras inseparables, las condiciones de contorno. Estas pueden cambiar por completo la manera en que percibimos un fenómeno; son las condiciones de contorno las que terminan de definir un problema determinado de la física. Consideremos el caso de los instrumentos de viento, en particular tomaremos como ejemplo la flauta y el clarinete.

La ecuación que modela el sonido producido en estos instrumentos (al menos en primera aproximación) es la ecuación de ondas; y lo que es aún más asombroso es podamos considerar que el problema es unidimensional, es decir, que despreciamos el diámetro de estos instrumentos por considerarlo mucho menor que el largo. Con esta brutal simplificación resulta casi increíble que el resultado esté en concordancia con lo observado.

Pero, ¿en dónde entran las condiciones de contorno? Lee el resto de esta entrada »