Octoniones

agosto 10, 2018

 

Los griegos pensaron que todo podría ser reducido a números y formas. Otros, más adelante, pensaron que el álgebra y el análisis era la clave. Posiblemente ninguna por sí misma tenga las respuestas, pero lo cierto es que pensar en números y formas tiene algo primario, algo que nos conecta con una verdad más allá de las palabras y los argumentos.

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A veces nos ponemos a jugar con las cosas que sabemos y se replantean las cosas. Hay una vía interesante para replantearse todo el tema del análisis vectorial usando objetos distintos; otra representación.

Hablemos de vectores. Sí, los de toda la vida; los de física general. Usualmente los representamos en el espacio Euclideo como

\mathbf{x} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\;.

También pueden escribirse como ternas de números (x,y,z)  . Sin embargo estas notaciones no son apropiadas para extender el formalismo a más dimensiones (pensando que esto es algo que vale la pena por supuesto). Hay varias formas de adaptar la notación si estamos pensando en espacios con más de tres dimensiones. Una puede ser \mathbf{x} = x^1\mathbf{i_1} + x^2\mathbf{i_2} + x^3\mathbf{i_3} , vemos entonces que es natural escribir un vector en tres dimensiones por ejemplo

\mathbf{x} = x^1\mathbf{i_1} + x^2\mathbf{i_2} + x^3\mathbf{i_3} \;.

Desde luego que con esto vienen otros problemas, porque estamos acostumbrados a ver el superíndice como un exponente; lo que debemos es hacer planas de que los superíndices son simplemente etiquetas e inventarnos una forma de reconocer exponentes (poniéndolos entre paréntesis por ejemplo o si son muy obvios pues ni pararle). Como sabemos los problemas de notación no son sólo problemas cosméticos, siempre hay algo más allá en el asunto.

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Más sobre cuaterniones

noviembre 1, 2012

Ya nos hemos topado con este asunto antes. Es posible revisar algunas propiedades básicas de los cuaterniones aquí. Ahora sólo haremos algunos comentarios.

Hamilton envió su paper sobre cuaterniones a la Real Academia Irlandesa y la historia subsiguiente es una de las más interesantes en la matemática. Las reglas del álgebra de cuaterniones pueden deducirse de las siguientes operaciones:

\mathbf{i}^{2} = \mathbf{j}^{2} = \mathbf{k}^{2} = \mathbf{ijk} = -1

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En una entrada anterior hablamos un poco sobre los cuaterniones y comentamos algunas de sus curiosas propiedades. Los operadores, por otra parte, son entidades fundamentales dentro de la matemática y por consecuencia en la formulación de teorías físicas. Podemos decir que un operador es una entidad que toma una expresión matemática y mediante ciertas reglas la transforma en otra expresión; es como una fábrica que toma su materia prima y la transforma en otras cosas.

El ejemplo más fácil es el de una función Lee el resto de esta entrada »

Cuaterniones

mayo 18, 2010

Se cuenta que un dublinés, dando un paseo vespertino con su esposa el 16 de octubre de 1843, tuvo una revelación. Pensaba en lo maravilloso de las funciones de variable compleja para la resolución de la ecuación de Laplace en 2-dimensiones. Pensaba si era posible crear un tipo generalizado de números complejos que le permitiera tratar con problemas en 3-dimensiones. El dublinés en cuestión era William Rowan Hamilton (1805 – 1865) y los números que creó se llaman cuaterniones.

Al tener su revelación Hamilton corrió hacia una piedra del puente Brougham (por donde caminaba) y talló lo siguiente: Lee el resto de esta entrada »