Aunque no es usual, vamos a ponernos un poco técnicos. Vamos a conversar de un recurso que no aparece normalmente en los libros. Supongamos que tenemos una ecuación diferencial ordinaria y homogénea de segundo orden:

y'' + P y' + Q y = 0   ,

donde hemos consideramos que  y   depende de la variable independiente  x   y consideramos P   y  Q   dos funciones arbitrarias de  x . Denotamos a las derivadas con primas. No nos vamos a preocupar por el dominio de la ecuación ni de su regularidad o el comportamiento de las funciones P y Q; haremos lo que se conoce como un tratamiento formal.

Queremos cambiar de variable independiente; es decir hacer un cambio

x \longrightarrow z

Para esto debemos primero reescribir las derivadas utilizando la regla de la cadena:

y' = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dz}{dx}\dfrac{dy}{dz}

y'' = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) = \left(\dfrac{dz}{dx}\right)^2\dfrac{d^2 y}{dz^2} + \dfrac{d^2 z}{dx^2}\dfrac{dy}{dz}

Utilizando estos resultados, reescribimos la ecuación original:

\left(\dfrac{dz}{dx}\right)^2 \dfrac{d^2 y}{dz^2} + \left(\dfrac{d^2 z}{dx^2} + P\dfrac{dz}{dx}\right)\dfrac{dy}{dz} + Qy = 0 .

Sería interesante si pudiésemos encontrar algún criterio que nos permita decir cuándo es posible transformar esta ecuación en una con coeficientes constantes… y esto es lo que pensamos hacer.

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