Mi mamá me decía con admiración que le parecían muy complicadas la matemática y la física por esa cualidad (difícil de definir) de ser ciencias exactas. Yo la fastidiaba un poco llevándole la contraria. Creo entender a qué se refería ella cuando hablaba de ciencias exactas: me parece que se refería a que están fuertemente ligadas al razonamiento preciso y a la lógica. Pero bueno yo, para provocarla, le decía que nada de eso, que no son exactas nada… y allí nos guindábamos un rato. Extraño un poco esos momentos.

Recuerdo esto porque es cierto que las personas tienen una imagen sobre la física como una ciencia que encuentra sus respuestas pisando sobre un camino sólido y recorriendo una vía gloriosa con la frente en alto, llenos de dignidad y coraje. Esa es la imagen que queda en la foto, todos queremos que pienses eso. Pero la verdad es otra.

La verdad es que los problemas que tienen soluciones exactas son realmente muy pocos. Estos problemas constituyen sólo un puñado de modelos y resultados; todo el entrenamiento que recibe un joven científico consiste, en buena parte, en familiarizarse con estos modelos, con estos resultados y sus métodos de resolución. Uno de estos métodos consiste en tomar estos problemas archiconocidos y cambiarlo un poco.

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Esta es nuestra tercera entrada sobre métodos asintóticos. Hemos visto algunas cositas curiosas. En esta oportunidad seguiremos introduciendo terminología (lo sé es un poco aburrido, pero es importante para avanzar a paso seguro) y finalizaremos con un concepto importante que ayuda mucho al momento de encontrar series asintóticas: balance dominante.

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En la entrada anterior vimos algunas definiciones importantes que permiten establecer una jerarquía entre las funciones y esta jerarquía nos ayuda a obtener el comportamiento dominante de ciertas expresiones en ciertos límites. En esta entrada seguiremos aclarando cosas sobre funciones similares y mucho menores para poder calcular límites.

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He decidido empezar una serie de entradas dedicadas a los métodos asintóticos y teoría de perturbaciones. Pretendo que sea simple; sólo quiero plasmar acá algunas cosas que he ido aprendiendo sobre este tema a medida que me ha hecho falta en el trabajo. Así que necesariamente serán retazos, bocetos más bien disconexos pero creo que igual pueden ser útiles para quien lea.

Los métodos asintóticos eran conocidos como “cálculo de aproximaciones”. La primera vez que tropecé con estas técnicas (sin saberlo) fue en los cursos de matemáticas generales en la licenciatura. Allí se usan los libros del profesor Pedro Alson quien es un pedagogo maravilloso y un ser humano excepcional; el profesor Alson basa su forma de enseñar la teoría de los límites (sobre la cual descansa el cálculo diferencial e integral) en este cálculo de aproximaciones.

Empezaré con algo de nomenclatura que es fundamental. Como te mencioné antes el concepto de límite es esencial y voy a asumir que lo conoces.

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El título de esta entrada está algo largo; veamos si puedo hacerle justicia y dar en el clavo.

En el año de 1882 nace esta chica en un hogar de intelectuales liberales alemanes, en la ciudad de Erlangen. Su destino (como el de sus hermanos) era ser doctora, pero a causa de ser mujer lo tuvo mucho más cuesta arriba que cualquiera. Eran tiempos en los que pocas universidades aceptaban a mujeres en sus programas y al graduarse ninguna universidad les ofrecía un empleo.

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El problema de la braquistocrona es una de las grandes historias de la física. Un día de invierno de 1697, cuando el viejo Newton contaba 55 años (no viejo para los estándares modernos pero viejo para el tiempo en que vivió), recibió una carta de Johann Bernoulli. La carta, entre otras menudencias, planteaba el siguiente problema:

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Las ecuaciones diferenciales son importantísimas para la física. Son el lenguaje en el cual se expresa la evolución de los sistemas físicos. El cálculo diferencial es el fundamento de estas ecuaciones. Existe toda una tecnología para resolver una clase particular (limitada pero muy importante) de ecuaciones diferenciales.

Para ser concreto consideremos ecuaciones diferenciales sencillas, que tienen la siguiente forma

a\dfrac{d^2 y}{dx^2} + b\dfrac{d y}{dx} + cy = f(x)

En esta expresión  a,\;b  y  c  son constantes  y  f(x)  es una función de la variable independiente  x   que supondremos (por simplicidad) es un polinomio. Una ecuación diferencial involucra derivadas de la función incógnita  y  y  resolver la ecuación quiere decir hallar esta función.

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Octoniones

agosto 10, 2018

 

Los griegos pensaron que todo podría ser reducido a números y formas. Otros, más adelante, pensaron que el álgebra y el análisis era la clave. Posiblemente ninguna por sí misma tenga las respuestas, pero lo cierto es que pensar en números y formas tiene algo primario, algo que nos conecta con una verdad más allá de las palabras y los argumentos.

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Los dominios del infinito son extraños, ya lo hemos visto. Siempre que está, pareciera no haber piso seguro. En la matemática y la física el infinito ha aparecido de muchas formas y una de las primeras es en la forma de sumas: sumas de infinitos términos. A estas sumas se les conoce como series. El desconcierto viene cuando estas sumas aparentemente no llevan a ningún valor y sin embargo alguna mente consigue darles sentido.

Series Convergentes

Para organizarnos, hablemos primero de las series que sí tienen sentido. Observemos esta serie

\displaystyle 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} +\cdots  \;\;=\;\;  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}

Cada uno de los términos de esta serie es más pequeño que el anterior. Uno sospecha que aunque hay infinitos términos, la suma debe dar algo que no es infinito. Para tratar de visualizar esta intuición podemos graficar qué pasa al hacer sumas parciales; es decir, cuál es el resultado de sumar un término, o dos, o tres, etc

Cada punto es el resultado de una suma parcial. El primer punto está en el origen… no hemos sumado nada. El segundo punto tiene en el eje horizontal 1 (esto quiere decir que estamos sumando sólo un término) y en el eje vertical el resultado de la suma 1. El tercer punto tiene en el eje horizontal 2 (lo que quiere decir que estamos sumando dos términos) y en el eje vertical el resultado de la suma  1 + 1/4 = 1.25 .

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A veces nos ponemos a jugar con las cosas que sabemos y se replantean las cosas. Hay una vía interesante para replantearse todo el tema del análisis vectorial usando objetos distintos; otra representación.

Hablemos de vectores. Sí, los de toda la vida; los de física general. Usualmente los representamos en el espacio Euclideo como

\mathbf{x} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\;.

También pueden escribirse como ternas de números (x,y,z)  . Sin embargo estas notaciones no son apropiadas para extender el formalismo a más dimensiones (pensando que esto es algo que vale la pena por supuesto). Hay varias formas de adaptar la notación si estamos pensando en espacios con más de tres dimensiones. Una puede ser \mathbf{x} = x^1\mathbf{i_1} + x^2\mathbf{i_2} + x^3\mathbf{i_3} , vemos entonces que es natural escribir un vector en tres dimensiones por ejemplo

\mathbf{x} = x^1\mathbf{i_1} + x^2\mathbf{i_2} + x^3\mathbf{i_3} \;.

Desde luego que con esto vienen otros problemas, porque estamos acostumbrados a ver el superíndice como un exponente; lo que debemos es hacer planas de que los superíndices son simplemente etiquetas e inventarnos una forma de reconocer exponentes (poniéndolos entre paréntesis por ejemplo o si son muy obvios pues ni pararle). Como sabemos los problemas de notación no son sólo problemas cosméticos, siempre hay algo más allá en el asunto.

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¿Discreto o continuo?

diciembre 3, 2013

Esta pregunta tiene ya algunos milenios de antiguedad y aún hoy nos la hacemos. ¿Está la realidad formada por pequeñas unidades indivisibles o todo es un continuo denso y sin grietas? Demócrito y Leucipo (en el siglo V a. C.) dieron su respuesta: la realidad es discreta.

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Más sobre cuaterniones

noviembre 1, 2012

Ya nos hemos topado con este asunto antes. Es posible revisar algunas propiedades básicas de los cuaterniones aquí. Ahora sólo haremos algunos comentarios.

Hamilton envió su paper sobre cuaterniones a la Real Academia Irlandesa y la historia subsiguiente es una de las más interesantes en la matemática. Las reglas del álgebra de cuaterniones pueden deducirse de las siguientes operaciones:

\mathbf{i}^{2} = \mathbf{j}^{2} = \mathbf{k}^{2} = \mathbf{ijk} = -1

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Aunque no es usual, vamos a ponernos un poco técnicos. Vamos a conversar de un recurso que no aparece normalmente en los libros. Supongamos que tenemos una ecuación diferencial ordinaria y homogénea de segundo orden:

y'' + P y' + Q y = 0   ,

donde hemos consideramos que  y   depende de la variable independiente  x   y consideramos P   y  Q   dos funciones arbitrarias de  x . Denotamos a las derivadas con primas. No nos vamos a preocupar por el dominio de la ecuación ni de su regularidad o el comportamiento de las funciones P y Q; haremos lo que se conoce como un tratamiento formal.

Queremos cambiar de variable independiente; es decir hacer un cambio

x \longrightarrow z

Para esto debemos primero reescribir las derivadas utilizando la regla de la cadena:

y' = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dz}{dx}\dfrac{dy}{dz}

y'' = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) = \left(\dfrac{dz}{dx}\right)^2\dfrac{d^2 y}{dz^2} + \dfrac{d^2 z}{dx^2}\dfrac{dy}{dz}

Utilizando estos resultados, reescribimos la ecuación original:

\left(\dfrac{dz}{dx}\right)^2 \dfrac{d^2 y}{dz^2} + \left(\dfrac{d^2 z}{dx^2} + P\dfrac{dz}{dx}\right)\dfrac{dy}{dz} + Qy = 0 .

Sería interesante si pudiésemos encontrar algún criterio que nos permita decir cuándo es posible transformar esta ecuación en una con coeficientes constantes… y esto es lo que pensamos hacer.

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Georg Cantor (1845 – 1918) es un personaje demasiado interesante e importante en la historia de las matemáticas. Alemán de familia judía, se interesó desde muy temprano en matemáticas y filosofía. Tuvo como maestros a Weierstrass y Kronecker.

La primera vez que escuché sobre él, fue en un librillo de divulgación matemática. Yo estudiaba en la facultad de ciencias económicas y sociales, pero mis intereses me llevaban por el camino de las ciencias exactas. En esos libros de divulgación conseguí mucho material que terminó por seducirme y llevarme a estudiar física.

Lo que leí en esa oportunidad tenía que ver con teoría de conjuntos y el infinito. Así, a la ligera, decimos que un conjunto es una colección de elementos. Dado un conjunto, podemos contar el número de elementos que posee. Por ejemplo, el conjunto de sillas de la sala donde estoy escribiendo esta nota tiene 7 elementos… Lee el resto de esta entrada »

Operaciones binarias

junio 23, 2010

Este será el comienzo de una serie de escritos que tendrán como fin el tratar el asunto de la teoría de grupos. Cuando los matemáticos hablan de grupo no se refieren a un congreso o reunión para conversar. Hablan más bien de un aspecto técnico de su oficio. Tendremos que describir algunas definiciones previamente para poco a poco irnos acercando al concepto de grupo matemático. Esto lo haremos, como muchas cosas en este blog, de una manera no rigurosa. Pasemos a nuestro asunto.

Consideremos un conjunto A Lee el resto de esta entrada »

Polinomios

junio 22, 2010

a mi buen amigo Jesús Méndez

En una entrada pasada recibí un comentario preguntando sobre las ecuaciones cuadráticas. Las ecuaciones polinómicas son de las primeras a las que uno se enfrenta en el colegio y esa familiaridad hace que, tal vez, en mi caso, las vea como simples e incluso triviales. Pero, al sentarme a pensar sobre el asunto me di cuenta que esa ‘obviedad’ escondía mi ignorancia, así que me encaminé a preparar esta entrada. Encontré que hay un mundo tan rico en los polinomios que ahora siento que debo escribir mucho para poder decir algo acerca de ellos. Así que decidí empezar con algo de historia para ponernos en sintonía. Lee el resto de esta entrada »

Cálculo de Grassmann

junio 12, 2010

A veces, cuando empezamos a estudiar un tema, olvidamos o pasamos por alto ciertas convenciones, acuerdos tácitos o no, que están imbuídos en el tópico en cuestión. Recuerdo que cuando estudiaba armonía y contrapunto en el conservatorio, la construcción de acordes por tríadas era algo tan evidente que difícilmente uno podía llegar a cuestionarse construir acordes utilizando otro intervalo base… segundas, cuartas (esto reforzado por profesores que no estimulaban hacerse dichas preguntas claro está). Cuando estudiamos ciencias aprendemos cálculo diferencial e integral y utilizamos los números complejos como cuerpo para realizar los cálculos. ¿Qué ocurriría si en lugar de utilizar los números complejos ordinarios, utilizaramos números complejos que anticonmutan?

Consideremos cantidades independientes (en el sentido del álgebra lineal) que anticonmutan  C_{i}   donde  i = 1 ... N (finito). Es decir Lee el resto de esta entrada »

En una entrada anterior hablamos un poco sobre los cuaterniones y comentamos algunas de sus curiosas propiedades. Los operadores, por otra parte, son entidades fundamentales dentro de la matemática y por consecuencia en la formulación de teorías físicas. Podemos decir que un operador es una entidad que toma una expresión matemática y mediante ciertas reglas la transforma en otra expresión; es como una fábrica que toma su materia prima y la transforma en otras cosas.

El ejemplo más fácil es el de una función Lee el resto de esta entrada »

Cuaterniones

mayo 18, 2010

Se cuenta que un dublinés, dando un paseo vespertino con su esposa el 16 de octubre de 1843, tuvo una revelación. Pensaba en lo maravilloso de las funciones de variable compleja para la resolución de la ecuación de Laplace en 2-dimensiones. Pensaba si era posible crear un tipo generalizado de números complejos que le permitiera tratar con problemas en 3-dimensiones. El dublinés en cuestión era William Rowan Hamilton (1805 – 1865) y los números que creó se llaman cuaterniones.

Al tener su revelación Hamilton corrió hacia una piedra del puente Brougham (por donde caminaba) y talló lo siguiente: Lee el resto de esta entrada »