Hipótesis ergódica

junio 1, 2018

Cada uno tiene su línea de mundo, su ruta. Cada uno tiene un camino, inevitablemente único. Existe una idea en física estadística que hoy me resulta muy hermosa: la idea de ergodicidad.

Esta palabra (que hasta algo fea suena) fue creada por Boltzmann y la verdad no tengo muy claro por qué la eligió. El significado actual tiene que ver con posibilidades.

Supongamos que cada uno viene con una cierta cantidad de talentos y dones, con la capacidad de hacer una cantidad (finita) de cosas. Tal vez no desarrollamos todos los talentos pero si lo hubiesemos intentado habríamos logrado cosas. A este conjunto de todos los talentos se le llama espacio de fases. Lo que dice la hipótesis ergódica es que la probabilidad de que una persona haya desarrollado alguno de sus talentos es la misma para cada talento; no hay ninguno preferencial. Claro, estoy estirando bastante la física. Ustedes saben que me gusta pellizcar las ideas y ponerlas a cantar en otras tonalidades… a gravitar en otros contextos. La ergodicidad no fue pensada para hablar de talentos o personas, sino para algo más sencillo como lo son los sistemas físicos.

Pero lo que hoy me maravilla es una consecuencia de esto.

Cuando hablamos de promediar es como hacer un balance; es quedarnos con algo que nos permite resumir una propiedad o algún evento.

Podemos hacer el balance de nuestra historia; nuestros aciertos y desventuras. Esto sería como promediar sobre el tiempo que dura nuestra propia vida. Sin embargo, la hipótesis ergódica nos dice: no tienes que esperar a vivir toda tu vida, si quieres saber cómo será en promedio tu vida sólo tienes que considerar este instante de tiempo pero promediar (hacer el balance) sobre todas las vidas que conviven contigo. Por ejemplo sobre los habitantes de una misma ciudad (y ahora que estamos conectados por redes, tal vez promediar sobre el mundo).

Cada uno tiene su línea de mundo, su ruta. Cada uno tiene un camino, inevitablemente único pero que invariablemente está conectado con el camino de otros. El destino de uno, es un poco el destino de todos. La desdicha y la felicidad de unos es un poco la desdicha y la felicidad de todos.

No estamos ni tan mal ni tan bien como creemos que estamos.

Seguimos…

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El calor específico mide la respuesta de un sistema al variar su temperatura; en particular mide cómo cambia la energía interna del sistema.

C = \displaystyle{\frac{\partial E}{\partial T}}

Hemos hablado antes de estos temas pero hoy quiero hacer un ejemplo simple e ilustrativo.

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Lo encontrarás si continuas leyendo (bueno, más o menos). Nos hemos ido enterando de las proezas de Newton y todo por hablar de las unidades naturales; en fin que no sé por qué pero acá seguimos y volvemos a tocar el tema de la constante de gravitación  G .

Nos enteramos que Newton no la midió ni le interesaba hacerlo; las preguntas que quizo responder no precisaban conocer su valor. Además sabemos por los chismes de la historia de la física que el primero en medir la contante de gravitación fue Cavendish, pero lo que no dicen bien los libros de historia es que no estaba interesado tanto en la constante como en otra cosa: medir la densidad de la Tierra.

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En hombros de gigantes

enero 27, 2018

Nunca resultará exagerado repetir lo importante que fue Isaac Newton para la ciencia y lo novedoso de todas sus investigaciones, algunas de las más importantes publicadas en los Principia. Sabemos que las matemáticas que aparecen en ese libro (el cálculo infinitesimal) las creó Newton para poder resolver el problema de las órbitas planetarias. Realmente pocos de los contemporáneos de Newton pudieron comprender cabalmente la teoría y sus implicaciones; fueron los pensadores de la siguiente generación los que realmente desarrollaron todas sus ideas y llevaron a la mecánica a su punto más alto… pero eso es otro cuento.

Lo cierto es que en la entrada anterior te hablé un poquito de la constante de Newton y resulta que Newton nunca definió lo que hoy llamamos su constante. Para entender lo que hizo, recordemos que la segunda ley aplicada al movimiento de los planetas es

ma = G\;\displaystyle{\frac{mM}{R^2}}

Hay tantas sutilezas en esa expresión… El lado izquierdo es la segunda ley: Fuerza igual a Masa por Aceleración (todo un prodigio intelectual), el lado derecho es la fuerza de gravedad (sí, otro prodigio). Por haber escrito cualquiera de los lados de esta ecuación habría pasado a la historia, y él escribió los dos… épico!

Hay más sutilezas pero debo parar, la entrada no puede ser infinita.  G  es la constante de gravitación de Newton, al resolver el problema aparece el símbolo, pero no conocía su valor. Así que pensó en darle la vuelta al problema y que puede ser mejor que un problema… pues otro problema!!!

Para el problema de la órbita lunar escribió

m_{luna}a_{luna} = G\;\displaystyle{\frac{m_{luna}M_{tierra}}{R_{luna}^2}}

y al simplificar y acomodar queda

a_{luna}R_{luna}^2 = GM_{tierra}

Luego, el otro problema que se planteó fue el de la famosa manzana y la apuesta era que la fuerza que hacía caer a la manzana era la misma que hacía orbitar a la luna (como ves el Newton era bastante arriesgado). Así que

m_{manzana}a_{manzana} = G\displaystyle{\frac{m_{manzana}M_{tierra}}{R_{tierra}^2}}

Acá utilizó el radio de la Tierra porque, para todos los efectos, la manzana está en la superficie terrestre. Simplificando de la misma manera anterior tenemos

a_{manzana}R_{tierra}^2 = GM_{tierra}

Ahora de seguro ves hacia dónde se dirige esto. Pues sí. Notas que ambas expresiones son iguales a  GM_{tierra} ,  de manera que Newton las igualó

a_{luna}R_{luna}^2 = a_{manzana}R_{tierra}^2

Newton conocía el período orbital de la Luna y con eso calculó  a_{luna} .  También conocía la distancia de la Tierra a la Luna y el radio de la Tierra; es decir conocía  R_{tierra}  y  R_{luna}. Así que buscó hacer una predicción

a_{manzana} = a_{tierra}\left(\displaystyle{\frac{R_{luna}^2}{R_{tierra}^2}}\right)

Newton había calculado su predicción (sin conocer el valor de la constante) y sabía exactamente dónde ir a verificar. Sabía que un gigante antes que él había realizado cuidadosos experimentos con la caída de los cuerpos; sabía que Galileo tenía su respuesta.

Imagino a Newton corriendo a la biblioteca a revisar los libros de Galileo para verificar que sus cálculos tenían la respuesta correcta (era muy hermosa la teoría para no ser cierta). Imagino la felicidad que sintió. Muy pocos han sentido algo comparable. Newton, en su isla le hacía justicia a un hombre que fue humillado y casi asesinado por pensar distinto… o tal vez simplemente por pensar.

La historia no deja de repetirse… y sin embargo, se mueve.

Tal vez hayas escuchado hablar de Max Planck (¡eso espero!). Planck nos dio, después de vacilar largo tiempo, el primer atisbo de la física cuántica resolviendo así uno de los problemas más importantes y difíciles de la física del siglo XIX y comienzos del XX. Sabemos por las biografías que fue un tipo generoso y que tuvo una vida marcada por la tragedia. Max Planck fue un físico profundo que dejó aportes muy importantes a la ciencia y, porqué no, a nuestra maltrecha humanidad.

Entre esos aportes hay uno en particular que por su sencillez puede confundir a más de uno (y a más de un especialista). Lo que Planck nos dio fue un sistema de unidades muy particular; un sistema de unidades basado en las constantes (realmente “constantes” hasta donde sabemos) fundamentales de nuestra bella física: el sistema de unidades naturales.

Unidades

Sabemos que hubo tiempos en los que la medida del pie de algún rey británico sirvió para señalar distancias (sí, la unidad inglesa ‘pie’ -foot- fue creada de esta forma). Hoy en día ya es casi cultura pop que la velocidad de la luz es una constante universal, pero es importante que repasemos lo que esto significa. ¡¡¡La constancia de la velocidad de la luz significa que es constante!!! No, no, no me burlo de ti; realmente esta afirmación es muy profunda.

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A veces nos ponemos a jugar con las cosas que sabemos y se replantean las cosas. Hay una vía interesante para replantearse todo el tema del análisis vectorial usando objetos distintos; otra representación.

Hablemos de vectores. Sí, los de toda la vida; los de física general. Usualmente los representamos en el espacio Euclideo como

\mathbf{x} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\;.

También pueden escribirse como ternas de números (x,y,z)  . Sin embargo estas notaciones no son apropiadas para extender el formalismo a más dimensiones (pensando que esto es algo que vale la pena por supuesto). Hay varias formas de adaptar la notación si estamos pensando en espacios con más de tres dimensiones. Una puede ser \mathbf{x} = x^1\mathbf{i_1} + x^2\mathbf{i_2} + x^3\mathbf{i_3} , vemos entonces que es natural escribir un vector en tres dimensiones por ejemplo

\mathbf{x} = x^1\mathbf{i_1} + x^2\mathbf{i_2} + x^3\mathbf{i_3} \;.

Desde luego que con esto vienen otros problemas, porque estamos acostumbrados a ver el superíndice como un exponente; lo que debemos es hacer planas de que los superíndices son simplemente etiquetas e inventarnos una forma de reconocer exponentes (poniéndolos entre paréntesis por ejemplo o si son muy obvios pues ni pararle). Como sabemos los problemas de notación no son sólo problemas cosméticos, siempre hay algo más allá en el asunto.

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La Acción

septiembre 28, 2015

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Sabemos que el movimiento puede ser descrito por números. En concreto, si tenemos el vector de posición  \vec{r}  y el vector velocidad  \vec{v}  estos seis números (o funciones porque en general dependen del tiempo) describen completamente el movimiento de una partícula. Podemos decir que estos números al describir el movimiento, describen entonces el cambio: el movimiento es un tipo de cambio.

Cómo medir el cambio es una pregunta importante para la física y está claro que no existe una manera única de hacerlo. Desde que Newton puso la piedra fundamental al publicar los Principia, pasaron casi dos siglos para que los físicos se pusieran de acuerdo en cómo medir el cambio en un sistema. El nombre que le dieron a la cantidad física que mide el cambio fue Acción. De manera que los físicos al hablar de la Acción, hablamos del cambio en un sistema. Pero veamos la Acción más de cerca.

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Economía física

septiembre 22, 2015

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A ver, en esta entrada no vamos a hablar de cómo los físicos vemos el tema económico; cosa que ya es de por sí muy interesante y en el cual se han hecho muchos avances. Hablaremos más bien de cómo un principio económico influencia a la física en su desarrollo más fundamental.

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Torus-donut

Existe un chiste de físicos muy famoso. Dicen que un físico visitó una granja y su dueño le planteó un problema que tenía con sus vacas. Luego de escucharlo, el físico pensó por un rato y le dijo: tengo una solución, pero debemos suponer vacas esféricas en el vacío.

De seguro nadie está riendo luego de leer esto; la primera vez que me contaron este chiste casi reviento de tanto reir. Es un clásico de los chistes nerds de físicos. Más aún, me di cuenta de que el chiste era mundialmente conocido cuando escuché su versión en inglés en un capítulo de la serie The Big Bang Theory; Leonard pretendía romper el hielo en una conferencia que debía dar… Vaya que hubiese funcionado!

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Dispersión

octubre 21, 2014

NewtonPinkFloydLa dispersión es un fenómeno curioso además de estar presente en la propagación de las ondas de casi cualquier tipo.

Al hablar de ondas, todos nos imaginamos una ondulación periódica, regular y uniforme. Esto está muy bien. Sin embargo corresponde al tipo más simple de onda; la onda monocromática.

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¿Discreto o continuo?

diciembre 3, 2013

Esta pregunta tiene ya algunos milenios de antiguedad y aún hoy nos la hacemos. ¿Está la realidad formada por pequeñas unidades indivisibles o todo es un continuo denso y sin grietas? Demócrito y Leucipo (en el siglo V a. C.) dieron su respuesta: la realidad es discreta.

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Escalamiento: ejemplos

agosto 25, 2013

Rubik's_Cube

En la entrada anterior hablamos un poco sobre la teoría de escalamiento (con algunos aderezos y chismes); creo que vale la pena abundar un poco en el asunto y mostrar algunos ejemplos.

Recordemos que la idea principal es ésta: al incrementar las dimensiones lineales de un objeto, el volumen crece mucho más rápido de lo que crece el área.

Supongamos que eres el chef de un importante restaurant y deseas cocinar un puré de papas. Estás apurado y necesitas pelar diez kilogramos de papas; ¿comprarías papas pequeñas o papas grandes?

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cuanto-pesa-el-almaMe ha caído un libro muy simpático entre las manos, se titula ¿Cuánto pesa el alma?; el autor, Len Fisher. La verdad es que si no fuese por un cierto azar, no lo hubiese empezado a leer. Pensé que trataría de alguna clase reciclada de metafísica (en el sentido más triste de la palabra) o de algún nuevo invento New Age. Lo cierto es que le quité el celofán y lo empecé a mirar y para mi sorpresa resultó ser un divertido relato de divulgación ciéntifica. Desde luego, divulgación amplia porque toca temas poco tratados en otros libros. Por ejemplo, el primer capítulo, que da nombre al libro, muestra los esfuerzos de un médico norteamericano a comienzos del siglo XX para demostrar la existencia física del alma tratando de determinar su peso. Lo bonito es que este señor aplicó con rigurosidad los métodos y razonamientos de las ciencias para atacar un problema que, hasta ahora, parece escaparse.

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Algo sobre color

julio 21, 2013

coloresLa física del color es muy bonita y tiene cosas curiosas como siempre ocurre cuando pasamos del mundo de los puntos materiales al mundo de las oscilaciones y ondas. Cosas curiosas que recuerdan, a veces, a las perplejidades de la mecánica cuántica en cualquiera de sus versiones.

Pero hoy no hablaremos de estos asuntos, más bien veremos algo bastante sencillo.

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Klein-Gordon equation

marzo 31, 2013

Trying to understand the behavior of quantum nature, this was the first attempt to describe the atom. It is known that Schrödinger found this equation, but he did discard it because the equation did not predict the correct spectrum for hydrogen atom.

Consider as a quantum mechanical equation, the Klein-Gordon equation fails miserably describing nature. But consider as a field, the equation open new realms of nature. As a field, the theory describes infinite degrees of freedom, i.e. infinite particles. In this case infinite spin-0 particles. As a quantum mechanical system, the theory leads to paradoxes. But as a field theory is a beautiful building that opens the world of contemporary physics. Let’s look.

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En 1999 fue concedido el Premio Nobel a los físicos holandeses Gerard ‘t Hooft y Martinus Veltman por su contribución a la renormalización de la teoría electrodébil y de esta forma, de todo el Modelo Estándar de las partículas elementales. Ahora bien, en el Modelo Estándar las masas de las partículas involucradas se generan mediante un procedimiento especial. La vía directa hubiese sido incluir términos de masa en el Lagrangiano del Modelo Estándar; sin embargo estos términos de masa no son invariantes bajo las simetrías en las cuales los físicos confiamos que la naturaleza está construída. La manera de solventar esta dificultad (cómo tener partículas masivas sin tener términos de masas en nuestro modelo) es un paso genial y se conoce como ruptura espontánea de simetría.

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La conferencia del CERN parece que aún no arroja resultados definitivos, aunque algunos proclaman que finalmente se ha encontrado al bosón de Higgs. Este video se filtró del CERN antes de la conferencia; no dice nada particularmente llamativo, de hecho es bastante cauteloso.

En resumen se dice que se ha observado una nueva partícula y que hay indicios muy fuertes de que existe algo, pero sus propiedades están aún por determinar en detalle. Está claro es que se desintegra en dos fotones, lo que indica que se trata de un bosón (espín entero), por tanto es un descubrimiento importante, el más importante en física de partículas en las últimas décadas. Podría ser el bosón de Higgs, pero algunas de sus propiedades no coinciden con las esperadas según el modelo estándar. Por tanto, podría ser nuestra primera puerta hacia nuevas leyes físicas más allá del modelo estándar. Pero por ahora todo es muy preliminar. Aún así, todo esto es muy emocionante.

Sin duda hay que seguir esperando a obtener más data e interpretarla para poder hacerse una mejor idea. Al parecer los resultados formales se publicarán a finales de julio. Esperamos por ellos.

Hace algunos posts conversábamos sobre el teorema del virial. Hoy veremos un resultado curioso que se desprende de este teorema: ¡los sistemas gravitacionales tienen calor específico negativo!

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Teorema del virial

abril 1, 2012

Mencionamos en una entrada previa el teorema del virial. Este es uno de esos resultados esotéricos de la física clásica que sólo unos pocos iluminados saben cómo utilizar con inteligencia (no me incluyo en ese selecto grupo). Lo desarrollaremos en una subrama de la física como lo es la astrofísica.

Cuando pensamos en el problema de muchos cuerpos, inmediatamente recurrimos a la mecánica estadística. Sin embargo las ideas convencionales de la mecánica estadística no funcionan con el problema de muchos cuerpos gravitacional debido a que la mecánica estadística convencional asume que la energía es una propiedad extensiva: si divides un gas en dos porciones, la energía total (en una buena aproximación) será la suma de las energías de las dos porciones. Pero si divides un cluster estelar o una galaxia en dos partes, la energía total no es la suma de ambas partes; la interacción gravitacional entre ambas partes suma una contribución importante que no puede despreciarse.

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A ver, esta pregunta me resulta complicada y sólo voy a escribir hasta donde he podido entender el asunto. A primera vista pareciera que sí, veamos porqué. Supongamos una nube de gas uniformemente distribuida, si es suficientemente grande, la interacción gravitacional hará su trabajo y el gas tenderá a colapsar. Esto es, comenzamos en un estado desordenado y terminamos en un estado donde las partículas de gas están restringidas a cierto volumen debido a la interacción gravitatoria… pareciera que la entropía en efecto disminuye.

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