Usando matrices para representar vectores

diciembre 15, 2016

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A veces nos ponemos a jugar con las cosas que sabemos y se replantean las cosas. Hay una vía interesante para replantearse todo el tema del análisis vectorial usando objetos distintos; otra representación.

Hablemos de vectores. Sí, los de toda la vida; los de física general. Usualmente los representamos en el espacio Euclideo como

\mathbf{x} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\;.

También pueden escribirse como ternas de números (x,y,z)  . Sin embargo estas notaciones no son apropiadas para extender el formalismo a más dimensiones (pensando que esto es algo que vale la pena por supuesto). Hay varias formas de adaptar la notación si estamos pensando en espacios con más de tres dimensiones. Una puede ser \mathbf{x} = x^1\mathbf{i_1} + x^2\mathbf{i_2} + x^3\mathbf{i_3} , vemos entonces que es natural escribir un vector en tres dimensiones por ejemplo

\mathbf{x} = x^1\mathbf{i_1} + x^2\mathbf{i_2} + x^3\mathbf{i_3} \;.

Desde luego que con esto vienen otros problemas, porque estamos acostumbrados a ver el superíndice como un exponente; lo que debemos es hacer planas de que los superíndices son simplemente etiquetas e inventarnos una forma de reconocer exponentes (poniéndolos entre paréntesis por ejemplo o si son muy obvios pues ni pararle). Como sabemos los problemas de notación no son sólo problemas cosméticos, siempre hay algo más allá en el asunto.

Las cantidades de la base, \mathbf{i_1}\, , \mathbf{i_2}\,  , etc se escriben usualmente como vectores columna. Por ejemplo en tres dimensiones se puede escribir

\mathbf{i_1}=\begin{bmatrix}1\\ 0 \\ 0  \end{bmatrix} ,    \mathbf{i_2}=\begin{bmatrix}0\\ 1 \\ 0  \end{bmatrix} ,    \mathbf{i_3}=\begin{bmatrix}0\\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} .

Podemos pensar sin embargo en representar la base como otro objeto, digamos matrices. Por esto cambiaremos la notación de nuestro vector a

\mathbf{x} = x^1\mathbf{e_1} + x^2\mathbf{e_2} + x^3\mathbf{e_3} \;.

Los vectores de la base ahora son unas matrices que podemos escribir explícitamente

\mathbf{e_1}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\  1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} ,   \mathbf{e_2}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & -1 & 0 & 0\end{bmatrix}   y   \mathbf{e_3}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 &0 & -1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} .

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Estas matrices tienen propiedades importantes

  1. \mathbf{e_1 e_1} = \mathbf{1}  \mathbf{e_2 e_2} = \mathbf{1} \mathbf{e_3 e_3} = \mathbf{1}
  2. \mathbf{e_2 e_1} = -\mathbf{e_1 e_2} \mathbf{e_3 e_2} = -\mathbf{e_2 e_3} \mathbf{e_1 e_3} = -\mathbf{e_3 e_1} .

Con esta representación un vector en el espacio Euclideo en tres dimensiones es

\mathbf{x} = x^1\mathbf{e_1} + x^2\mathbf{e_2} + x^3\mathbf{e_3} = \begin{bmatrix}x^3 & 0 & x^2 & x^1 \\ 0 & x^3 & x^1 & -x^2 \\ x^2 & x^1 & -x^3 & 0 \\  x^1 & -x^2 & 0 & -x^3\end{bmatrix}  \;.

Luce bastante más complicado pero nos permite jugar usando el producto de matrices como herramienta.

Primero vemos que

\mathbf{x}^2 = \mathbf{x}\mathbf{x} = \begin{bmatrix}x^3 & 0 & x^2 & x^1 \\ 0 & x^3 & x^1 & -x^2 \\ x^2 & x^1 & -x^3 & 0 \\  x^1 & -x^2 & 0 & -x^3\end{bmatrix}  \begin{bmatrix}x^3 & 0 & x^2 & x^1 \\ 0 & x^3 & x^1 & -x^2 \\ x^2 & x^1 & -x^3 & 0 \\  x^1 & -x^2 & 0 & -x^3\end{bmatrix}\;,

es decir

\mathbf{x}^2 = \left[ (x^1)^2 + (x^2)^2 + (x^3)^2  \right] \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &0 & 0 \\0 &0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} = \left[ (x^1)^2 + (x^2)^2 + (x^3)^2  \right] \mathbf{1} \;,

recuperamos el módulo cuadrado de un vector.

Si consideramos ahora otro vector con esta representación rara \mathbf{y} = y^1\mathbf{e_1} + y^2\mathbf{e_2} + y^3\mathbf{e_3} y hacemos el producto \mathbf{xy}  obtenemos

\mathbf{xy} = (x^1 y^1 + x^2 y^2 + x^3 y^3)\mathbf{1} + x^2 y^3 \mathbf{e_2 e_3} + x^3 y^2 \mathbf{e_3 e_2} + x^3 y^1 \mathbf{e_3 e_1} + 

                     + x^1 y^3 \mathbf{e_1 e_3} + x^1 y^2 \mathbf{e_1 e_2} + x^2 y^1 \mathbf{e_2 e_1}  

y usando las propiedades de las matrices que ya mencionamos tenemos

\mathbf{xy} = (x^1 y^1 + x^2 y^2 + x^3 y^3)\mathbf{1} + (x^2 y^3 - x^3 y^2) \mathbf{e_2 e_3} + (x^3 y^1 - x^1 y^3) \mathbf{e_3 e_1} +

              +  (x^1 y^2 - x^2 y^1) \mathbf{e_1 e_2}

De inmediato notamos algo increíble, reconocemos la presencia del producto escalar y vectorial en el espacio Euclídeo de tres dimensiones. Notamos además que \mathbf{xy} \neq \mathbf{yx}  ; este producto no es conmutativo.

Podemos hacer explícito los productos escalar y vectorial considerando las partes simétricas y antisimétricas del producto.

(\mathbf{x},\mathbf{y})\mathbf{1} = \frac{1}{2}(\mathbf{xy} + \mathbf{yx}) = (x^1 y^1 + x^2 y^2 + x^3 y^3)\mathbf{1} \;,

\mathbf{x} \wedge \mathbf{y}  = \frac{1}{2}(\mathbf{xy} - \mathbf{yx}) = (x^2 y^3 - x^3 y^2) \mathbf{e_2 e_3} + (x^3 y^1 - x^1 y^3) \mathbf{e_3 e_1} + 

                                                          +  (x^1 y^2 - x^2 y^1) \mathbf{e_1 e_2}

Nada, no hemos hecho nada. Espero seguir pronto jugando e ir mostrándoles a dónde puede llevarnos esta forma de replantearse a los vectores.

Nos seguimos leyendo.

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2 comentarios to “Usando matrices para representar vectores”

  1. Coronita de Papel said

    Mindblown.

    Ahora recuerdo por qué pensé en estudiar Matemáticas cuando empecé la universidad. La vida después de Mate IV no ha sido la misma para mi. Sigue jugando con vectores, por favor. Que los conozco muy poco y estas divulgaciones me alegran el alma.

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