La Acción

septiembre 28, 2015

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Sabemos que el movimiento puede ser descrito por números. En concreto, si tenemos el vector de posición  \vec{r}  y el vector velocidad  \vec{v}  estos seis números (o funciones porque en general dependen del tiempo) describen completamente el movimiento de una partícula. Podemos decir que estos números al describir el movimiento, describen entonces el cambio: el movimiento es un tipo de cambio.

Cómo medir el cambio es una pregunta importante para la física y está claro que no existe una manera única de hacerlo. Desde que Newton puso la piedra fundamental al publicar los Principia, pasaron casi dos siglos para que los físicos se pusieran de acuerdo en cómo medir el cambio en un sistema. El nombre que le dieron a la cantidad física que mide el cambio fue Acción. De manera que los físicos al hablar de la Acción, hablamos del cambio en un sistema. Pero veamos la Acción más de cerca.

Acción es un nombre un poco raro para esto de nombrar al cambio y si preguntan por ahí, la mayoría de los físicos utilizamos la Acción sin estar muy conscientes de lo que significa (esta es una de las fortunas de la ciencia, aun sin llegar a comprender completamente un concepto, podemos operar con él y obtener importantes resultados mientras vamos entendiendo su significado; no siempre se puede hacer, pero sí a veces). Yo mismo he descubierto este significado preparando el curso de Mecánica Clásica que me toca enseñar este próximo semestre en la universidad.

La ventaja de trabajar con la Acción es que esta cantidad unifica y generaliza la descripción del movimiento.

Supongamos una partícula en un punto inicial del espacio y del tiempo y luego en otro punto final. ¿Cómo podemos definir la cantidad de cambio ocurrido entre estos dos puntos? ¿Cuándo podemos decir que hemos cambiado mucho o poco? Veamos tres intentos de definir la Acción: según Maupertuis, según Jacobi.

La  Acción  según  Maupertuis

Maupertuis, razonando sobre cómo aplicar el Principio de Fermat a la mecánica de partículas, encontró que la acción debería ser el producto del momento (p) por el desplazamiento (q) y sumado sobre toda la trayectoria; esto es

\int p\,dq

De esta manera Maupertuis afirmó que la trayectoria física de una partícula es aquella para la cual esta acción es mínima, satisfaciendo la condición

\delta \int p\,dq = 0

Esto fue un avance, se pudo aplicar un principio extremal a los problemas de la mecánica. Además podemos ver que la acción (el cambio) tiene unidades de momento por distacia o equivalentemente energía por tiempo.

La  Acción  según  Jacobi

JacobiEn cierto sentido Jacobi reescribe la Acción de Maupertuis. Usando la relación entre el momento y la energía escribe la acción como

\int \sqrt{2m(E-V)}\,dq

Básicamente tiene el mismo contenido que la anterior, pero esta formulación tiene la ventaja de incluir conceptos de energía y energía potencial.

Estas dos versiones de la Acción fueron útiles para replantear la mécanica de una manera más general que la formulación Newtoniana. Ambas tienen la desventaja de que si bien dan la trayectoria de la partícula, no dan la evolución temporal (cosa fundamental). Pero veamos la última versión de la Acción.

La  Acción  según  Hamilton

HamiltonTratando de incorporar el tiempo en toda esta pelìcula, Hamilton trabajó sobre lo ya encontrado por Maupertuis y Jacobi, también conocía los trabajos de Lagrange… tenía todo servido (y era muy inteligente). Partiendo de una astucia matemática conocida como regla de la cadena, reescribió la acción de Maupertuis

\int p\,dq = \int mv\, \frac{dq}{dt}\,dt = \int mv^2 dt = 2\int T

donde  T   es la energía cinética. Usando además la conservación de la energía y la técnica de los multiplicadores de Lagrange, Hamilton encontró que la Acción es

\int (T - V)\,dt

Para su sorpresa el integrando  T - V   no es más que el Lagrangiano del sistema.

Veamos valores de la Acción para algunos fenómenos:

  • Flash fotográfico  10^{-17} Js
  • Electrón expulsado de un átomo  10^{-33} Js
  • Romper una barra de acero  10 Js
  • Molécula golpeando el tímpano del oído  10^{-32} Js
  • Flor abriendo en la mañana  10^{-9} Js

flower

Estos son apenas algunos valores. La Acción como ya hemos visto fue entendida como la cantidad que mide el cambio y como vimos en la entrada anterior, la naturaleza pide que el cambio sea el menor posible. Así funciona la naturaleza.

Pero esto no acaba acá. A comienzos del siglo XX los físicos tropezaron con que el cambio (la Acción) no puede hacerse tan pequeña como queramos; existe un límite. La cantidad más pequeña de cambio admisible es

1,1 \cdot 10^{-34}

Este hallazgo impresionante es la puerta a la mecánica cuántica. Una de las puertas más hermosas de ésta, la bella física.

Nos seguimos leyendo.

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2 comentarios to “La Acción”

  1. cristóbal said

    hola gabo.

    “la cantidad más pequenha de cambio admisible” tiene que ver con la velocidad del cambio o con el efecto de éste? o con ambos? cuando medimos (o miden ustedes) el movimiento de la flor abriendose en la manhana, se mide hasta dónde se abre la flor o la velocidad con que se abre??? o ambas?

    finos esos ejemplos de cambio.

    un abrazo.

    c.

    • La cantidad más pequeña de cambio tiene que ver con esas dos cosas. Es decir, para un sistema mecánico tiene que ver no sólo con a dónde se movió el sistema sino también con qué velocidad lo hizo.

      Ahora la Acción de la flor es mucho más complicada: es un sistema biológico. La Acción tiene un término que tiene que ver con la velocidad con que se abre (su energía cinética) pero también hay potenciales donde se expresan los procesos celulares que intervienen, las energías y nutrientes que provienen del Sol y la tierra y el aire y el agua. En fin, que es una Acción difícil de escribir pero puede aproximarse.

      No sé si contesté la pregunta, pero me alegra que estés por acá y me leas.

      Un gran abrazo hermano!

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