Ruptura espontánea de simetría global

julio 26, 2012

En 1999 fue concedido el Premio Nobel a los físicos holandeses Gerard ‘t Hooft y Martinus Veltman por su contribución a la renormalización de la teoría electrodébil y de esta forma, de todo el Modelo Estándar de las partículas elementales. Ahora bien, en el Modelo Estándar las masas de las partículas involucradas se generan mediante un procedimiento especial. La vía directa hubiese sido incluir términos de masa en el Lagrangiano del Modelo Estándar; sin embargo estos términos de masa no son invariantes bajo las simetrías en las cuales los físicos confiamos que la naturaleza está construída. La manera de solventar esta dificultad (cómo tener partículas masivas sin tener términos de masas en nuestro modelo) es un paso genial y se conoce como ruptura espontánea de simetría.

Parece que la ruptura espontánea de simetría fue descubierta por Heisenberg en 1932 en su estudio de los materiales ferromagnéticos, y luego fue aplicada por Nambu y Goldstone, a principios de los 1960, a teorías de campos en física de la materia condensada; la teoría de Goldstone es la ruptura de una simetría de calibre global. En 1964, Higgs (y otros autores) la aplicó a teorías de calibre local, descubriendo un mecanismo para la generación de la masa de las partículas elementales. El mecanismo de Higgs está en la base de la teoría electrodébil, desarrollada por Glashow, Weinberg y Salam, premios Nobel de Física en 1979. La teoría electrodébil es una teoría de calibre local  SU(2) \times U(1)  que unifica la fuerza electromagnética mediada por el fotón, un bosón vectorial de masa nula, y la fuerza débil mediada por los bosones vectoriales intermedios  \mbox{W}^{\pm}   y  \mbox{Z} ,  que tienen masa no nula. En esta teoría se produce una ruptura espontánea de simetría mediante el mecanismo de Higgs, por el cual los bosones vectoriales adquieren masa y queda como remanente una partícula masiva, el bosón escalar de Higgs, de la cual se ha reportado evidencia experimental el pasado 4 de julio de 2012.

En su tesis doctoral dirigida por Veltman, ‘t Hooft probó que una teoría de calibre local con ruptura espontánea de simetría, como la teoría electrodébil, es renormalizable. De esta forma se definió un procedimiento consistente para realizar cálculos de gran precisión en esta teoría y, entre ellos, la predicción de las masas de las partículas  \mbox{W}^{\pm}   y  \mbox{Z} , descubiertas en el CERN en 1983, y del quark t (top), descubierto en el Fermilab en 1995.

Campo escalar complejo con potencial cuártico

Consideremos un campo escalar complejo con una auto-interacción cuártica,

{\cal{L}} = g^{\mu\nu}\partial_{\mu}\phi \partial_{\nu}\phi^{*} - V(\phi^{*},\phi)

donde

V(\phi^{*},\phi) = m^{2}\phi^{*}\phi + \frac{\lambda}{2}(\phi^{*}\phi)^{2}

\phi = \phi_{1} + i\phi_{2}  y  \phi^{*} = \phi_{1} - i\phi_{2}  se pueden considerar como dos campos independientes. Al cuantizar este campo, el parámetro m representará la masa de las partículas. El parámetro \lambda representa la constante de auto-interacción del campo consigo mismo.

Al calcular las ecuaciones de Euler-Lagrange se obtiene,

\frac{\partial {\cal {L}}}{\partial \phi} = -\frac{\partial V}{\partial \phi} = -\phi^*\,\frac{\partial V}{\partial (\phi^*\phi)}, \qquad    \frac{\partial {\cal {L}}}{\partial \phi^*} = -\phi\,\frac{\partial V}{\partial (\phi^*\phi)},

\frac{\partial {\cal {L}}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = g^{\mu\nu} ( \partial_\nu \phi^*)    = \partial^\mu \phi^*, \qquad \frac{\partial {\cal {L}}}{\partial (\partial_\mu \phi^*)} = \partial^\mu \phi,

y como  \partial V/\partial(\phi^{*}\phi) = m^{2} + \lambda(\phi^{*}\phi) ,  se obtiene las ecuaciones de movimiento del campo

({\partial_\mu}\partial^\mu + m^2 + \lambda\,\phi^*\phi ) \phi = 0, \quad    ({\partial_\mu}\partial^\mu + m^2 + \lambda\,\phi^*\phi ) \phi^* = 0,

En la versión cuántica de esta teoría estas ecuaciones representan una partícula (\phi) y su antipartícula (\phi^*) de espín 0 (bosón escalar) de masa m.

Tanto el Lagrangiano {\cal {L}} como las ecuaciones de movimiento son invariantes bajo transformaciones de calibre globales,

\phi \longrightarrow e^{\mbox{i}\Lambda}\,\phi, \qquad (\Lambda \mbox{ constante}),

Las transformaciones  de calibre globales son simplemente transformaciones de fase de tipo U(1) .  La invariancia  U(1)   conduce a la conservación de la carga eléctrica. Calculando la divergencia de la densidad de corriente

J^\mu = \mbox{i}(\phi^* \partial^\mu \phi - \phi \partial^\mu\phi^*),

obtenemos aplicando las ecuaciones de movimiento

\partial_\mu J^\mu = \mbox{i} (\partial_\mu\phi^* \partial^\mu \phi + \phi^*{\partial_\mu}\partial^\mu \phi - \partial_\mu \phi \partial^\mu\phi^* - \phi{\partial_\mu}\partial^\mu \phi^*) = 0

y de aquí vemos que la carga eléctrica

Q=\int J^0 \,d^3x=\frac{\mbox{i}}{c} \int \left({\phi^*}\frac{\partial \phi}{\partial t}-\phi \frac{\partial {\phi^*}}{\partial t}\right) \, d^3 x,

se conserva  dQ/dt = 0 . Es necesario cuantizar la teoría para que en la definición de  Q  aparezcan e ,  la carga del electrón, y \hbar, la constante de Planck, así como para obtener que la carga eléctrica está cuantizada  Q=n\,e .  Nótese que un campo escalar real  ( \phi=\phi^* )  representa partículas neutras  Q=0 .

Bosón de Goldstone

Veamos cómo se manifiesta la ruptura espontánea de simetría global en el caso del campo escalar que acabamos de considerar. El estado de mínima energía para este campo se determina buscando los extremos del potencial V, es decir

\frac{\partial V}{\partial \phi}=\phi^*\,\frac{\partial V}{\partial (\phi^*\phi)} = m^2 \phi^* + \lambda\phi^*(\phi^*\phi) = 0.

Cuando m^2>0V  tiene un mínimo para \phi = \phi^{*} = 0 .  Pero para  m^2<0  tiene un máximo local en  \phi = \phi^{*} = 0  e  infinitos mínimos para

\phi^{*}\phi = |\phi|^{2} = -\frac{m^{2}}{\lambda} = a^{2}

Todos los mínimos se encuentra en  $latex|\phi| = a$ ,  un círculo en el plano  (\phi_{1},\phi_{2}) .

Al cuantizar la teoría,  \phi pasa a ser un operador y podemos calcular es valor de espectación de vacío de este operador; es decir el valor del campo cuando no hay partículas (el mínimo),

|\langle 0 | \phi | 0 \rangle|^2=a^2.

Los estados exitados con una, dos o n partículas se obtienen añadiendo estas partículas una a una al vacío, que puede no coincidir con  \phi = 0 . Tomando coordenadas polares,

\phi(x) = (a + \rho(x))e^{i\theta(x)}

obtenemos para el estado del vacío

|\langle 0 | \phi | 0 \rangle| = a, \qquad    |\langle 0 | \rho | 0 \rangle| = 0, \qquad    |\langle 0 | \theta | 0 \rangle| = 0.

Podemos considerar a  \rho  y  \phi  como los campos físicos, y expresar el Lagrangiano en términos de estos nuevos campos. Operando se obtiene

V(\phi^*\phi)=V(a + \rho)=m^2 (a+\rho)^2 + \frac{\lambda}{2} ( a + \rho)^4= \lambda a^2 (a+\rho)^2 + \frac{\lambda}{2} ( a + \rho)^4= \frac{\lambda}{2} \rho^4 + 2 a \lambda \rho^3 + 2 \lambda a^2 \rho^2 - \frac{\lambda}{2} a^4,

y para el término cinético

(\partial_\mu \phi)(\partial^\mu {\phi^*})= (\partial_\mu \rho) (\partial^\mu \rho) + (a + \rho)^2 (\partial_\mu \theta) (\partial^\mu \theta).

El lagrangiano tiene un término en  \rho^2 ,  por lo que el campo \rho tiene una masa dada por  m_{\rho}^{2} = 2\lambda a^{2} ,  mientras que la ausencia de término en  \theta^2  indica que  \theta  es un campo sin masa.

Como resultado de una ruptura espontánea de la simetría dos campos escalares con masa ( \phi  y  \phi^{*})  se han convertido en un campo con masa y otro sin ella.

La partícula \theta se denomina bosón de Goldstone. El teorema de Goldstone dice que la ruptura de una simetría global en una teoría cuántica de campos genera una partícula de espín cero sin masa.

Espero no estés cansad@, pronto seguiremos este cuento.

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3 comentarios to “Ruptura espontánea de simetría global”

  1. Javier said

    Este concepto de rotura de simetría no deja de ‘mosquearme’.

    La simetría en física, por ejemplo, es una expresión de la no discriminación del universo frente a direcciones (Leyes de Gauss del campo eléctrico) o tiempo (Ley de conservación de energía en un sistema aislado).

    Pero no acabo de ver ese concepto, por ejemplo, un átomo de hidrógeno excitado, puede o no emitir un foton en un momento dado. Pero eso es simplemente proceso túnel, es decir, pura mecánica cuántica. NO hay nada mas. Y en la emisión de partículas desde el núcleo, el fenómeno es igual, barrera de energía, y probabilidad túnel de atravesarla, punto. ¿Porque se dice que eso precisa la existencia de una ‘fuerza electrodebil para explicarlo?. Es puro fenómeno túnel, punto.

    ¿Podrías poner ejemplos de este concepto, pero por favor, no el tonto del lápiz, ese obvia el ruido térmico de moléculas chocando contra el lápiz?.

    No solo eso, si el lapiz cae hacia un lado es porque la energia del sistema (Lapiz+entorno) disminuye en cuanto sale del equilibrio central, y cuanto mas se sale, mas disminuye.

    Es un sistema con realimentado con gradiente positiva en energía.

    Esa es la calve de esos sistemas (LApiz, bola en priamide, osciladores electronicos, etc).

    A esos sistemas, le das un ruido en su punto de equilibrio, y salen fuera de él.

    Es un lápiz de pie. Es una bola encima de una pirámide, es un oscilador electrónico clásico (Realimentacion positiva en energía, disparado por ruido térmico, si enfrias a -272 ºC a un oscilador, tardara horas en arrancar).

    Pero esos sistemas, los entendemos con esos conceptos, y NO rompen ninguna simetría.
    |———————————————————————-|

    Lo mas cercano que he estado de entender este concepto, es con los materiales ferromagnéticos, y la temperatura de Curie.

    Pero ahí la ruptura del estado inicial (Que NO es una transición de fase) al enfriarse y aparecer los dominios de magnetización, no hace disminuir la energía del sistema.

    Esa es la linea que me gustaría (Y te agradecería) explicaras, no en términos de ejemplos, sino de energía.

    Otro ejemplo precioso es el colapso de la función de onda.

    ¿Que pasa ahí con la energía de todo, antes y después del colapso?.

    Gracias.

    • Estimado Javier, gracias por haber leído este blog, que como se habrá dado cuenta es un poco desordenado y ecléctico. Estoy pensando en sus preguntas, que son varias y nada fáciles (para mí al menos, que soy un humilde estudiante de doctorado). En cuanto tenga algo sólido que decirle y algo más de tiempo, le escribiré.

      Nuevamente gracias y hasta pronto.

    • Javier, le pido disculpas por no haber podido responder su pregunta en un tiempo razonable. Quisiera, si le parece, intentemos ir pensando los dos en estos temas que son muy interesantes. Para ello le pido me diga porqué dice usted que en el caso ferromagnético no ocurre una transición de fase. Saludos y hasta pronto.

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