Mecánica clásica: formulación Lagrangiana

noviembre 23, 2011

Todos, de alguna manera, hemos visto la segunda ley de Newton; bien sea en el colegio, en la universidad o hasta en el lenguaje cotidiano cuando hablamos de inercia o acción y reacción. La mecánica es una teoría marco, es la manera en que creemos se comportan los entes físicos. Recordemos que la segunda ley de Newton se escribe

\mathbf{F} = m\mathbf{a} = m\dfrac{d^2 \mathbf{x}}{dt^2} = m\mathbf{\ddot{x}}

fuerza igual a masa por aceleración; podemos conocer la masa de la partícula que estudiamos y usualmente queremos saber la posición  x, pero para eso necesitamos conocer quién es la fuerza  F . La mecánica no nos dice nada de la fuerza; lo único que dice la mecánica es ‘si usted conoce la fuerza, métala en esta ecuación y resuelva para x. Un aspecto interesante es que existen otras formas de plantearse el problema de Newton con igual éxito e incluso mejor. Hoy veremos una de ellas que es conocida como formalismo Lagrangiano, desarrollado como ya intuirán por el físico y matemático francés J. L. Lagrange hacia finales del siglo XVIII.

Los ingredientes para resolver nuestro problemas serán:

1.- Un conjunto de coordenadas generalizadas  q^a  tal que  x^{i} \equiv x^{i}(q^a, t) .

2.- La segunda ley de Newton  F^{i} = m \ddot{x}^{i} .

3.- Supondremos que la fuerza es conservativa, esto se traduce en que existe una función escalar tal que  F_{a} = -\nabla V = -\dfrac{\partial V}{\partial x^a} .

Escribimos convenientemente la segunda ley de Newton:

\left( F^{i} - m\ddot{x}^{i}\right) \dfrac{\partial x^{i}}{\partial q^a} = - \left( \dfrac{\partial V}{\partial x^i} + m\ddot{x}^{i}\right) \dfrac{\partial x^{i}}{\partial q^a} = 0

Donde hemos utilizado la segunda ley contraída con las derivadas de las coordenadas y también hemos reescrito la fuerza en términos de  V .

Ahora distribuimos y trabajamos el primer término:

\dfrac{\partial V}{\partial x^i}\dfrac{\partial x^{i}}{\partial q^a} = \dfrac{\partial V}{\partial q^a}

Un poco más de trabajo nos da el segundo término pero nada que no se pueda dominar con un poco de astucia. Antes consideremos las derivadas temporales del cambio de coordenadas, es decir las velocidades

v^{i} \equiv \dot{x}^{i} = \dfrac{dx^{i}}{dt} = \dfrac{\partial x^{i}}{\partial q^{a}}\dot{q}^{a} + \dfrac{\partial x^{i}}{\partial t}

de donde se obtiene

\dfrac{\partial v^{i}}{\partial \dot{q}^{a}} \equiv \dfrac{\partial \dot{x}^{i}}{\partial \dot{q}^{a}} = \dfrac{\partial x^{i}}{\partial q^{a}}

Esta es la ley de cancelación de puntos. Ahora trabajemos el siguiente término en la segunda ley de Newton

\ddot{x}^{i}\dfrac{\partial x^{i}}{\partial q^a} = \dfrac{d}{dt}\left[\dot{x}^{i}\dfrac{\partial x^{i}}{\partial q^a}\right] - \dot{x}^{i}\left[\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial x^{i}}{\partial q^{a}}\right]

Esto puede reescribirse sin dificultad de la siguiente forma

\ddot{x}^{i}\dfrac{\partial x^{i}}{\partial q^a} = \dfrac{d}{dt}\left[v^{i}\dfrac{\partial v^{i}}{\partial \dot{q}^a}\right] - v^{i}\dfrac{\partial v^{i}}{\partial q^{a}}

Podemos identificar en esta expresión las derivadas de la energía cinética

dT = m v^{i}dv^{i}

y por tanto, al multiplicar por la masa, escribimos

m\ddot{x}^{i}\dfrac{\partial x^{i}}{\partial q^a} = \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}^a} - \dfrac{\partial T}{\partial q^{a}}

Colocando todo este sancocho en la segunda ley de Newton, obtenemos

\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}^a} - \dfrac{\partial T}{\partial q^{a}} + \dfrac{\partial V}{\partial q^{a}} = 0

Como hemos asumido que el potencial no depende de las velocidades

\dfrac{\partial V}{\partial \dot{q}^{a}} = 0

definimos una nueva función  L \equiv T - V   y reescribimos

\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}^a} - \dfrac{\partial V}{\partial \dot{q}^{a}}\right) - \left(\dfrac{\partial T}{\partial q^{a}} - \dfrac{\partial V}{\partial q^{a}}\right) = 0

Obtenemos el resultado final

\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}^a} - \dfrac{\partial L}{\partial q^{a}} = 0

La función  L  que se definió es lo que se conoce como Lagrangiano. Representa el punto de partida para las formulaciones actuales de la física, en particular la teoría cuántica de campos. Desde luego que tiene aplicaciones clásicas notables y muchas de las asombrosas predicciones sobre mecánica celeste se hicieron sobre la base de estas ecuaciones.

La ventaja más evidente es que son ecuaciones escalares, mientras que la ley de Newton es vectorial. La ecuación que satisface el Lagrangiano se conoce como ecuación de Euler-Lagrange. Euler llegó a esta misma expresión utilizando métodos variacionales; pero de eso conversaremos luego. Por último, hay que decir que no es la única alternativa a la mecánica Newtoniana, existe otra formulación conocida como Hamiltoniana, esencial a la mecánica cuántica… estaremos pronto hablando de ello.

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