Los instrumentos de viento y la maravillosa ecuación de ondas (iii)

mayo 23, 2010

Recordamos que queremos resolver

\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial t^2} - \dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2} = 0

\psi(0,t) = 0

\psi(L,t) = 0

y que técnicamente este problema tiene un nombre impronunciable el cual no pienso repetir.

Al resolver, la ecuación nos dice que únicamente son posibles longitudes de onda que cumplan la condición de que la presión acústica se anule en los extremos. Y este es el punto importante; el sistema forza a que las longitudes de onda permitidas sean aquellas que cumplen la condición de contorno. Por ejemplo

En el primer cuadro tenemos en modo fundamental y su longitud de onda es \lambda_{1} = 2L ; en el cuadro siguiente esta el primer armónico y su longitud de onda es \lambda_{2} = L ; en el último cuadro está el segundo armónico con \lambda_{3} = \frac{2L}{3} . En general tenemos \lambda_{n} = \frac{2L}{n} . Si recordamos que v = \lambda f donde  v   es la velocidad del sonido y  f   es la frecuencia, entonces podemos escribir f_{n} = \frac{v}{\lambda_{n}} = n\frac{v}{2L} ,   con  n = 1, 2, 3, 4, 5 ...

f_{0} = \dfrac{v}{2L}       es la frecuencia fundamental.

Y comprobamos entonces que el espectro se puede escribir como:

f_{n} = f_{0}, 2f_{0}, 3f_{0}, 4f_{0}, 5f_{0} , ... , nf_{0}     múltiplos enteros de la fundamental.

Pero ¿y qué con el clarinete? Pues, es un tubo de longitud L pero ahora uno de sus estremos está cerrado; los labios tapan la embocadura y además ésta (donde va la caña) está por sí misma prácticamente cerrada. Pues esto lo cambia todo. Para indicarle a la ecuación que la embocadura está cerrada, colocamos una condición de contorno diferente. En este caso la presión en el extremo cerrado es máxima (Presión es fuerza por unidad de superficie. Considera que deseas abordar el metro y el andén está lleno. Al llegar el metro todos empujan y sientes cierta resistencia a moverte por que la gente hace presión sobre ti; si el metro cierra las puertas justo cuando ibas a abordar, sientes la máxima presión en ese instante porque te has estrellado contra la puerta). Así, el problema a resolver para el clarinete queda

\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial t^2} - \dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2} = 0

\dfrac{\partial \psi(0,t)}{\partial x} = 0       (ésta es la condición que cambia todo)

\psi(L,t) = 0

Al resolver, nuevamente, el sistema sólo considera aquellas longitudes de onda que cumplen las condiciones de contorno (para este caso presión acústica máxima en un extremo y cero en el otro).

Vemos en la figura cómo cambian las longitudes de onda respecto al caso de la flauta. La longitud de onda del modo fundamental es \lambda_{1} = 4L . El primer armónico es \lambda_{2} = \frac{4L}{3} y el segundo \lambda_{3} = \frac{4L}{5} .

En general la longitud de onda es \lambda_{n} = \frac{4L}{2n-1} .

Por otra parte utilizando nuevamente f_{n} = \frac{v}{\lambda_{n}} encontramos que f_{n} = (2n-1)\frac{v}{4L}    con   n = 1, 2, 3, 4, 5 ...

Siendo la frecuencia fundamental para el clarinete f_{0} = \frac{v}{4L} .

.

Escribimos entonces el espectro de frecuencias como sigue

f_{n} = f_{0}, 3f_{0}, 5f_{0}, 7f_{0} , ... , (2n - 1)f_{0}     ¡múltiplos impares de la fundamental!

Dos diferencias saltan a la vista:

  1. Existen armónicos que el clarinete no puede hacer. Para precisar, la flauta hace el espectro habitual: fundamental, octava, quinta, octava, tercera, quinta, octava… El clarinete en cambio: fundamental, quinta, tercera, octava… Las diferencias son evidentes.
  2. La frecuencias fundamentales son diferentes. Flauta: \frac{v}{2L} . Clarinete \frac{v}{4L} . Al ser el denominador mayor para el clarinete (4L ), la frecuencia fundamental del clarinete es menor y por lo tanto emite un sonido fundamental más grave. Es por esto que si bien el largo de una flauta y de un clarinete en si \flat es similar, el clarinete tiene una tesitura más grave que la flauta.

Los timbres de cada uno podrían explicarse por esta diferencia en el espectro aunque para precisar habría que revisar algunas de las aproximaciones que se utilizaron al resolver la ecuación y el problema podría complicarse lo suficiente como para tener que hacer un tratamiento numérico.

Es un tema apasionante y esta entrada está ya demasiado larga; mejor continuamos en otra oportunidad.

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2 comentarios to “Los instrumentos de viento y la maravillosa ecuación de ondas (iii)”

  1. LFB said

    Entonces, ahora si, el que suene un modo u otro depende de las condiciones iniciales?

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